Question

1．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{kx-y≥0}\\{kx-y-4k≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域为W
（1）若k=2，M（x，y）为区域W内的动点，求x+2y的最大值；
（2）区域W内部的整点的个数有多少？（整点是指横、纵坐标都是整数的点）．

Answer 1

分析 （1）把k=2代入不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得x+2y的最大值；
（2）由题意可知，当k=0时可行域为直线；当k≠0时，通过把可行域变形，得到正方形区域求整点个数．

解答 解：（1）当k=2时，不等式组为$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{2x-y≥0}\\{2x-y-8≤0}\end{array}\right.$，
对应的平面区域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{2x-y-8=0}\end{array}\right.$，解得B（6，4），
令z=x+2y，化为y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，
由图可知，当直线y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6+2×4=14．
∴x+2y的最大值为14；
（2）由题意，当k=0时，原不等式化为$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{y≤0}\end{array}\right.$，即y=0，平面区域为直线y=0，区域W内部的整点的个数有无数个；
当k≠0时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{kx-y≥0}\\{kx-y-4k≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域W如图，
${x}_{C}=\frac{4}{k}$，${x}_{B}=\frac{4}{k}+4$，则BC长度为4．
当OC过整点个数分别为1、2、3、4、5时，区域W内部的整点的个数分别为：21、22、23、24、25．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，（2）中改变可行域形状求整点是该题的难点，属于难题．