Question

18．已知曲线C：y=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求曲线C在点（1，0）处的切线l₁的方程；
（2）求过原点与曲线C相切的直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）欲求在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（2）设出切点坐标（x₀，$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$），求出切点处的导数，由直线方程点斜式写出切线方程，代入原点坐标求得切点，则答案可求．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
曲线C在点（1，0）处的切线l₁的斜率为1，
即有l₁：y-0=x-1⇒y=x-1；
（2）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
设切点为（x₀，$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$），
则f′（x₀）=$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴过切点（x₀，$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$）的切线方程为：y-$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
又切线过（0，0），
∴-$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$（-x₀），
解得：x₀=$\sqrt{e}$．
∴过原点且与函数f（x）的图象相切的直线方程l₂为：y-$\frac{1}{2\sqrt{e}}$=$\frac{1}{2e}$（x-$\sqrt{e}$），即：x-2ey=0．

点评 本小主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．