Question

设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2

3

x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．
（1）试求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；
（3）对于直线L：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使直线L与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y²=2

3

x-4，即y²=2

3

（x-

2

3

），可知抛物线顶点为（

2

3

，0），准线方程为x=

3

6

．在双曲线C中，中心在原点，右焦点（

2

3

，0），右准线x=

3

6

，由此能求出双曲线C的方程．
（2）由

y=2x+1 3x2-y2=1

，知3x²-（2x+1）²=1，由此能求出|AB|．
（3）设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

ka=-1① y1+y2=k(x1+x2)+2② y1+y2 2 =a• x1+x2 2 ③

，由此能够推导出不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

解答：解：（1）由抛物线y²=2

3

x-4，即y²=2

3

（x-

2

3

），可知抛物线顶点为（

2

3

，0），准线方程为x=

3

6

．
在双曲线C中，中心在原点，右焦点（

2

3

，0），
右准线x=

3

6

，∴

c= 2 3 a2 c = 3 6 c2=a2+b2

?

a= 3 3 b=1 c= 2 3 3

∴双曲线C的方程3x²-y²=1
（2）由

y=2x+1 3x2-y2=1

?3x²-（2x+1）²=1?x²+4x+2=0∴|AB|=2

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（3）假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

ka=-1① y1+y2=k(x1+x2)+2② y1+y2 2 =a• x1+x2 2 ③

由

y=kx+1 y2=3x2-1?(3-k2)x2-2kx-2=0④

由②③，有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2 ⑤
由④知：x₁+x₂=

2k

3-k2

代入⑤
整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

点评：本题考查双曲线方程的求法、求弦长和判断是否存在存在满足条件的实数k．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．