Question

（2013•广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．
（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V_PDCMA：V _M-ACB=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．
（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用已知可证明CD⊥AD，再利用面面垂直的性质定理平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，即可得出DC⊥平面PAD．利用面面垂直的判定定理即可即可证明结论；
（2）在线段PB上存在这样的点M，当M为PB中点时，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_M-ACB=2：1．利用三角形的中位线定理可得：点M到面ACB的距离等于

1

2

PA，利用三棱锥的体积计算公式即可得到V_M-ACB，利用四棱锥的体积计算公式即可得到V_P-ABCD，进而得出结论．
（3）AM与平面PCD不平行．可用反证法证明．利用线面平行的判定定理可得AB∥平面PCD．若AM∥平面PCD，可得平面ABM∥平面PCD．这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾．

解答：（1）证明：在梯形PDCB中，连接AC，∵PA

∥ .

.

CD，∴四边形PACD为平行四边形．
∴PD=AC，
∵PD=

2

，∴AC=

2

．
∵DC=PA=1，∴AC²=AD²+CD²
∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD
∴DC⊥平面PAD．
∵DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）在线段PB上存在这样的点M，当M为PB中点时，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_M-ACB=2：1．理由如下：
∵DC∥PA，CD⊥AD，∴PA⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD
∴PA⊥平面ABCD，
∵M为PB中点，∴点M到面ACB的距离等于

1

2

PA=

1

2

．
∴V_M-ACB=

1

3

×

1

2

•S△ACB=

1

6

．
∵VP-ABCD=

1

3

PA•S梯形ABCD=

1

3

×1×

(1+2)×1

2

=

1

2

，
∴VPDCMA=VP-ABCD-VM-ADP=

1

3

．
∴

VPDCMA

VMABC

=

2

1

，故M为PB中点．
（3）AM与平面PCD不平行．
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD．
这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾．
∴AM与平面PCD不平行．

点评：本题综合考查了线面与面面垂直的判定定理及性质定理、线面与面面垂直的平行定理及性质定理、棱锥的体积、反证法等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．