Question

11．已知数列{a_n}的前n项积为T_n，即T_n=a₁a₂…a_n．
（1）若数列{a_n}为首项为2016，公比为$q=-\frac{1}{2}$的等比数列，
①求T_n的表达式；②当n为何值时，T_n取得最大值；
（2）当n∈N^*时，数列{a_n}都有a_n＞0且${T_n}•{T_{n+1}}={（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}{（{a_1}{a_{n+1}}）^{\frac{n+1}{2}}}$成立，求证：{a_n}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）①由题意知${a_n}=2016{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，由此能求出T_n的表达式．
②记b_n=|a_n|，R_n=|T_n|，从而当n≤10，n∈N^*时，R_n+1＞R_n；当n≥11，n∈N^*时，R_n+1＜R_n，所以R_n的最大值为R₁₁，进而（T_n）_max=max{T₉，T₁₂}．由此能求出结果．
（2）推导出${a_2}^2={a_1}{a_3}$，从而$a_n^2a_{n-1}^{n-1}=a_1^2a_{n+1}^{n-1}$，令${c_n}={（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}$，能证明{a_n}为等比数列．

解答 解：（1）①由题意知${a_n}=2016{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
所以${T_n}={2016^n}{（-\frac{1}{2}）^{0+1+…+（n-1）}}={2016^n}{（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．…（3分）
②记b_n=|a_n|，R_n=|T_n|，即${b_n}=2016{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，${R_n}={2016^n}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}=2016×{（\frac{1}{2}）^n}$，
当n≤10，n∈N^*时，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}＞1$；当n≥11，n∈N^*时，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}＜1$，
又因为?n∈N^*，R_n＞0，所以，当n≤10，n∈N^*时，R_n+1＞R_n；
当n≥11，n∈N^*时，R_n+1＜R_n，所以R_n的最大值为R₁₁．…（6分）
此时${T_{11}}={2016^{11}}{（-\frac{1}{2}）^{55}}＜0$，而T₉＞0，T₁₀＜0，T₁₂＞0，
所以（T_n）_max=max{T₉，T₁₂}．
而$\frac{{{T_{12}}}}{T_9}={a_{12}}{a_{11}}{a_{10}}={（{a_{11}}）^3}=（2016×{（-\frac{1}{2}）^{10}}）＞1$，
所以，当n=12时，T_n取得最大值．…（9分）
（2）当n=2时，${a_1}^2{a_2}^2{a_3}=（{a_1}{a_2}）{（{a_1}{a_3}）^{\frac{3}{2}}}$，
所以${a_2}=\sqrt{{a_1}{a_3}}$，即${a_2}^2={a_1}{a_3}$，…（10分）
已知${T_n}•{T_{n+1}}={（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}{（{a_1}{a_{n+1}}）^{\frac{n+1}{2}}}$①
当n≥2时，${T_{n-1}}•{T_n}={（{a_1}{a_{n-1}}）^{\frac{n-1}{2}}}{（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}$②
①②两式相除得${（{a_n}a{\;}_{n+1}）^2}=\frac{{{a_1}^2a_{n+1}^{n+1}}}{{a_{n-1}^{n-1}}}$，化简得$a_n^2a_{n-1}^{n-1}=a_1^2a_{n+1}^{n-1}$，③
又因为$a_{n+1}^2a_n^n=a_1^2a_{n+2}^n$，④
③④两式相除得$a_{n+1}^{n+1}a_n^{n-2}=a_{n+2}^na_{n-1}^{n-1}$，⑤…（12分）
⑤式可化为：${（\frac{{{a_{n+2}}{a_n}}}{{a_{n+1}^2}}）^n}{（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}=1$，n≥2
令${c_n}={（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}$，所以c₁=1，c_n+1•c_n=1，所以${c_n}=1，?n∈{N^*}$，
即${a_{n+1}}{a_{n-1}}=a_n^2$，?n≥2，n∈N^*都成立，
所以{a_n}为等比数列．…（16分）

点评 本题考查数列的前n项和公式的求法，考查数列的前n项取最大值时项数n的求法，考查等比数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．