Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}，（x＜1）}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若f（f（a））=lnf（a），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，e）
• B． [e，+∞）
• C． [$\frac{3}{2e}$，3]
• D． （2，e]

Answer 1

分析 对a讨论，分a＜1，a=1，1＜a＜e，a≥e，结合分段函数和对数函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：由x＜1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$递增，且有f（x）＜0；
由x≥1，f（x）=lnx递增，且有f（x）≥0，
若f（f（a））=lnf（a），
若a＜1，则f（a）＜0，不成立；
当a≥1时，f（a）=lna≥0，（a=1显然不成立），
当1＜a＜e，可得0＜lna＜1，f（a）=lna∈（0，1），
则f（f（a））=f（lna）=$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，0），
lnf（a）=ln（lna）＜0，
f（f（a））=lnf（a）不恒成立．
当a≥e时，f（a）=lna≥1，
即有f（f（a））=f（lna）=ln（lna），
lnf（a）=ln（lna），
则f（f（a））=lnf（a）恒成立．
故选：B．

点评 本题考查分段函数的应用，注意运用分类讨论思想方法，考查对数函数的性质，考查化简运算和推理能力，属于中档题．