Question

已知函数f（x）=x²-2mx+2-m．
（I）若不等式f（x）≥x-mx在R上恒成立，求实数m的取值范围；
（II）记A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A⊆[0，+∞]，求实数m的最大值．

Answer 1

解：（I）由题意可得 x²-2mx+2-m≥x-mx在R上恒成立，即 x² -（m+1）x+2-m≥0恒成立，
∴△=（m+1）²-4（2-m）≤0，解得-7≤m≤1，
故实数m的取值范围为[-7，1]．
（II）由题意可得，A={y|y=f（x），0≤x≤1}={y|y≥0 在[0，1]上恒成立}，
即x²-2mx+2-m≥0 在[0，1]上恒成立．
当m＜0时，y=f（x）=x²-2mx+2-m在[0，1]上的最小值为f（0）=2-m≥0，m≤2．
当 0≤m≤1时，y=f（x）=x²-2mx+2-m在[0，1]上的最小值为f（m）=2-m-m²≥0，解得-2≤m≤1，
故此时0≤m≤1．
当m＞1时，y=f（x）=x²-2mx+2-m在[0，1]上的最小值为f（1）=-3m+3≥0，m≤1．
故此时m的值不存在．
综上，实数m的取值范围为（-∞，1]，
故实数m的最大值为1．
分析：（I）由题意可得 x²-2mx+2-m≥x-mx在R上恒成立，即 x² -（m+1）x+2-m≥0恒成立，由判别式小于或等于零求得实数m的取值范围．
（II）由题意可得x²-2mx+2-m≥0 在[0，1]上恒成立，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三种情况分别求出实数m的取值范围，再去并集，即得所求．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．