Question

设全集I=R，A={x|x²-2x＞0，x∈R}，B={x|x²-ax+b＜0，x∈R}，C={x|x³+x²+x=0，x∈R}．又?_R（A∪B）=C，A∩B={x|2＜x＜4，x∈R}，试求a、b的值．

Answer 1

解：∵A={x|x＜0或x＞2}，B={x|x²-ax+b＜0，x∈R}={x|x₁＜x＜x₂，x₁、x₂∈R}，C={x|x=0}，?_R（A∪B）=C={0}，
∴A∪B={x|x≠0且x∈R}．
又A∩B={x|2＜x＜4，x∈R}，可得x₁=0，x₂=4．
又x₁、x₂是方程x²-ax+b=0的两根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=b．
从而求得a=4，b=0．
分析：先通过解方程化简集合A，C设出集合B；求出A∪B，据两个集合的交集及并集求出集合B，集合B的两个端点是相应方程的根，利用韦达定理求出a，b．
点评：本题考查通过交集、并集的值确定集合、考查二次不等式的解集与二次方程的根有关、考查二次方程的韦达定理．