Question

已知函数f（x）=x³+bx²+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．

（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：

导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

分析：

（Ⅰ）求解析式，只需把a，b，d三个字母求出即可．已知点P（0，2）满足f（x），得到d，又点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，可以得到f（﹣1）的值，并且得到f（x）在x=﹣1处的导数为6．

（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．

解答：

解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x³+bx²+ax+2，f'（x）=3x²+2bx+a．

∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0

∴f'（x）|_x=﹣1=3x²+2bx+a|_x=﹣1=3﹣2b+a=6①，

还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②

由①、②联立得b=a=﹣3

故所求的解析式是f（x）=x³﹣3x²﹣3x+2．

（Ⅱ）f'（x）=3x²﹣6x﹣3．，令3x²﹣6x﹣3=0，即x²﹣2x﹣1=0．

解得．当；

当．

故f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）；单调减区间为（1﹣，1+）

点评：

本题主要考查了两个知识点，一是导数的几何意义，二是利用导数研究函数的单调性，属于函数这一内容的基本知识，更应该熟练掌握．