Question

6．已知$sin（3π-θ）=\frac{{\sqrt{5}}}{2}sin（\frac{π}{2}+θ）（θ∈R）$，则$cos（θ-\frac{π}{3}）$=±（$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{15}}{6}$）．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinθ和cosθ 的值，再利用两角差的三角公式求得要求式子的值．

解答 解：∵已知$sin（3π-θ）=\frac{{\sqrt{5}}}{2}sin（\frac{π}{2}+θ）（θ∈R）$，即sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$cosθ，
又sin²θ+cos²θ=1，∴cosθ=$\frac{2}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，或cosθ=-$\frac{2}{3}$，sinθ=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
若cosθ=$\frac{2}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
则$cos（θ-\frac{π}{3}）$=cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
若cosθ=-$\frac{2}{3}$，sinθ=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
则$cos（θ-\frac{π}{3}）$=cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-（$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{15}}{6}$），
故答案为：±（$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{15}}{6}$）．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角差的三角公式的应用，属于中档题．