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(本题满分16分)第一题满分4分,第二题满分6分,第三题满分6分.
已知动圆过定点P(1,0),且与定直线相切。
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且倾斜角为的直线与曲线M相交于A,B两点,A,B在直线上的射影是。求梯形的面积;
(3)若点C是(2)中线段上的动点,当△ABC为直角三角形时,求点C的坐标。



解: (1)曲线M是以点P为焦点,直线为准线的抛物线,其方程为.
(2)由题意得,直线AB的方程为 消y
 
于是, A点和B点的坐标分别为A,B(3,),
所以  
  
(3)设C(-1,y)使△ABC成直角三角形,


.
(i) 当时,
方法一:当时,
为直角. C点的坐标是
方法二:当时,得直线AC的方程为
求得C点的坐标是
(ii) 因为,所以,不可能为直角.
(iii) 当时,
方法一:当时,,即,解得,此时为直角。
方法二:当时,由几何性质得C点是的中点,即C点的坐标是
故当△ABC为直角三角形时,点C的坐标是 

解析

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