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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(
    x
    3
    )=
    1
    2
    f(x)    ；③f（1-x）=2-f（x）．则f(
    1
    3
    )+f(
    1
    8
    )    =（　　）
    分析：在③中，令x=0，则可求出f（1），在②中，令x=1，则可求出f（
    1
    3
    ）．在②③中，再分别令x=
    1
    2
    ，
    1
    3
    ，可求出f(
    1
    2
    )，f(
    1
    6
    )，f(
    1
    9
    )    ，函数f（x）在[0，1]上为非减函数，可得f（
    1
    9
    ）≤f（
    1
    8
    ）≤f(
    1
    6
    )    ，进而求出f(
    1
    8
    )    的值．
    解答：解：由③，令x=0，则f（1）=2-f（0）．又f（0）=0，∴f（1）=2．
    由②令x=1，则f（
    1
    3
    ）=
    1
    2
    f(1)    ，∴f(
    1
    3
    )=1    ．
    在③中，令x=
    1
    2
    ，则f（1-
    1
    2
    ）=2-f（
    1
    2
    ），解得f（
    1
    2
    ）=1，
     在②中，令x=
    1
    3
    ，则f（
    1
    9
    ）=
    1
    2
    f(
    1
    3
    )    =
    1
    2
    ；再令x=
    1
    2
    ，则f（
    1
    6
    ）=
    1
    2
    f(
    1
    2
    )    =
    1
    2
    ．
    ∵
    1
    9
    ＜
    1
    8
    ＜
    1
    6
    ，且函数f（x）在[0，1]上为非减函数，
    ∴f（
    1
    9
    ）≤f（
    1
    8
    ）≤f(
    1
    6
    )    ，∴f(
    1
    8
    )=
    1
    2
    ．
    于是f(
    1
    3
    )+f(
    1
    8
    )=1+
    1
    2
    =
    3
    2
    ．
    故选B．
    点评：本题考查了满足某些条件的非减函数，恰当的取值和利用条件非减函数是解决此题的关键．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
    （Ⅲ）已知an=
    1
    6
    ，                          n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法正确的有（　　）个．
    ①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
    ②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
    ③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
    ④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
    n
    i=1
    f(ξi)△x    中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
    ⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2x-
    π
    6
    ），g（x）=sin（2x+
    π
    3
    ），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
    （i）求函数f（x）的单调区间；
    （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
    S1S2
    为定值；
    （Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．
    （1）求a的取值范围；
    （2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
    （ⅰ）证明：a=b；
    （ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

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