分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),利用正弦函数的图象和性质可得f(x)的最大值及此时的x的集合;
(2)由$2kπ-\frac{π}{2}<2x+\frac{π}{6}<2kπ+\frac{π}{2},k∈Z$,即可解得f(x)的单调增区间.
(3)由已知可求$sin(2α+\frac{π}{6})=\frac{1}{4}$,利用诱导公式、倍角公式即可得解$sin(\frac{π}{6}-4α)$的值.
解答 (本题满分为12分)
解:$f(x)=4cosx(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx)-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin(2x+\frac{π}{6})$.---------------(4分)
(1)当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$时,即$x=\frac{π}{6}+kπ$时,f(x)max=2;--------------(6分)
(2)由$2kπ-\frac{π}{2}<2x+\frac{π}{6}<2kπ+\frac{π}{2},k∈Z$,
解得f(x)的单调增区间$(kπ-\frac{π}{3},kπ+\frac{π}{6}),k∈Z$.-------(8分)
(3)∵$f(α)=2sin(2α+\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,
∴$sin(2α+\frac{π}{6})=\frac{1}{4}$,
∴$sin(\frac{π}{6}-4α)=sin[\frac{π}{2}-2(2α+\frac{π}{6})]=cos2(2α+\frac{π}{6})=1-2{sin^2}(2α+\frac{π}{6})=\frac{7}{8}$.------(12分)
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,诱导公式,倍角公式的综合应用,考查了转化思想和数形结合的能力,属于中档题.
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A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | $\frac{17}{8}$ |
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A. | 2014 | B. | 2015 | C. | 2016 | D. | 2017 |
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