Question

（理科）设点A（1，2），B（2，1）如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a²+b²（　　）

• A．最大值为

  1

  5

• B．最大值为

  2

  9

• C．最小值为

  1

  5

• D．最小值为

  2

  9

Answer 1

分析：由题意得：点A（1，2），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧（或过A，或过B），那么把这两个点代入ax+by=1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a²+b²的最小值．

解答：解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，2），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧（或过A，或过B），
∴（a+2b-1）（2a+b-1）≤0，
画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2a+b-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，即

1

5

∴a²+b²的最小值为

1

5

故选C．

点评：本题考查线性规划的应用，本题解题的关键是写出约束条件，画出可行域，属于中档题．