Question

在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，
（1）求这三段可以构成三角形的概率；
（2）若分成的三段长度恰好都为整数，求这三段能构成三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）设分成的两段分别为x、y，则第三段为10-x-y，得到所有情况下的不等式组和能构成三角形的不等式组，在坐标系内作出两个不等式组对应的平面区域，分别计算它们的面积，用几何概型计算公式即可得到三段能构成三角形的概率．
（2）用列举的方法，找出三段均为正整数的所有情况总数，再从中找出能构成三角形的情况数，用古典概型计算公式即可算出三段能构成三角形的概率．

解答：解：（1）设分成的两段分别为x、y，则第三段为10-x-y，则有

x＞0 y＞0 10-x-y＞0

，…（1）
如果能构成三角形，则有

x+y＞10-x-y x+(10-x-y)＞y y+(10-x-y)＞x

，即

x+y＞5 y＜5 x＜5

（2）
在坐标系内作出两个不等式组对应的平面区域，得到如图所示
不等式（1）对应的区域为△OAB及其内部，其中A（0，10），B（10，0），O为坐标原点
不等式（2）对应的区域为△CDE及其内部，其中C（0，5），D（5，0），E（5，5）
∵S_△OAB=

1

2

×10×10=50，S_△CDE=

1

2

×5×5=

25

2

，
∴分成的三段能构成三角形的概率为P₁=

S △CDE

S△OAB

=

1

4

（2）将该线段分成三段均为正整数，只要确定其中两边长度即可得到三边长度
∵其中两段的情况共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，1），（2，2），…（8，1）共36种，
能构成三角形的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，
∴分成的三段长度恰好都为整数且这三段能构成三角形的概率为P₂=

6

36

=

1

6

答：（1）分成的三段能构成三角形的概率为

1

4

；（2）分成的三段长度恰好都为整数且这三段能构成三角形的概率为

1

6

．

点评：本题给出长度为10的线段分成3段，求这三段能构成三角形的概率，着重考查了几何概型、古典概型等计算公式知识，属于中档题．