Question

已知函数f(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，g(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2011

2011

，设F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2011

＜0，g′（x）＜0，因此g（x）是R上的减函数，且g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2011

＞0，g（2）=1-2+2-

8

3

+…-

22011

2011

＜0，函数f（x）在（-1，0）上有一个零点；函数g（x）在（1，2）上有一个零点，，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x-3）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．

解答：解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰=

1     x=1 1- x2011 1-x  x≠1

，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，
且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2011

＜0，
∴函数f（x）在（-1，0）上有一个零点；
g′（x）=-1+x-x²+x³-…-x²⁰¹⁰=

-1     x=1 - 1-x2011 1-x  x≠1

，
∴g′（x）＜0，因此g（x）是R上的减函数，且g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2011

＞0，
g（2）=1-2+2-

8

3

+…-

22011

2011

＜0，
∴函数g（x）在（1，2）上有一个零点，
∵F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+3）的零点在（-4，-3）内，g（x-3）的零点在（4，5）内，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零点均在区间[-4，5]内，
∴b-a的最小值为9．
故答案为：9．

点评：此题是难题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．