Question

14．已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且$\frac{BG}{GC}=\frac{DH}{HC}$=2，求证：直线EG，FH，AC相交于同一点P．

Answer 1

分析 由题意连接EF、HG、GE、FH、AC，根据比例关系和中位线证明出四边形EFHG是梯形，则由公理二得到直线EG，FH，AC相交于同一点P．

解答 证明：连接EF、HG、GE、FH、AC，如图，
∵BG：GC=DH：HC=2：1，
∴HG∥DB，且HG=$\frac{1}{3}$BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，且EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴四边形EFHG是梯形，∴EG与FH交于点P，
∵平面ABC∩平面ADC=AC，EG?平面ABC，FH?平面ADC，
∴由公理二得：直线EG，FH，AC相交于同一点P．

点评 本题考查了线线平行关系，主要根据平面几何中比例关系和中位线来证明线线平行，即平面几何中的知识在空间几何的一个平面内仍然适用