Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）设F是C₁的左焦点，E是C₁右支上一点．若|EF|=2$\sqrt{2}$，求E点的坐标；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1．若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

分析 （1）利用|EF|=2$\sqrt{2}$，建立方程，即可求E点的坐标．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b²=2，通过求解$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0．证明PO⊥OQ．
（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$），推出直线OM的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，求出|OM|²，|ON|²，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．推出O到直线MN的距离是定值．

解答 （1）解：左焦点$F（-\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\;0）$．
设E（x，y），则$|EF{|^2}={（x+\frac{{\sqrt{6}}}{2}）^2}+{y^2}={（\sqrt{3}x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}$，…（2分）
由E是右支上一点，知$x≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$|EF|=\sqrt{3}x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2\sqrt{2}$，得$x=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
所以$E（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\;±\sqrt{2}）$．…（4分）
（2）证明：设直线PQ的方程是y=x+b．因直线与已知圆相切，
故$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，即b=$\sqrt{2}$．…（6分）
由y=x+b与双曲线C₁：2x²-y²=1联立，得x²-2bx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2b，x₁x₂=-b²-1，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）．
所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0．
故PO⊥OQ．…（10分）
（3）当直线ON垂直于x轴时，
|ON|=1，|OM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则O到直线MN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y=kx（显然|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则直线OM的方程为y=-$\frac{1}{k}$x．
由y=kx与椭圆方程联立，得x²=$\frac{1}{4+{k}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，所以|ON|²=$\frac{1+{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$．
同理|OM|²=$\frac{1+{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$．…（13分）
设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$=3，即d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综上，O到直线MN的距离是定值．…（16分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．