Question

8．已知函数y=f（x）对于任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0 （其中f′（x）是函数f（x）的导函数），给出下列4个结论：（1）$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）；（2）f（0）＞2f（$\frac{π}{3}$）；（3）f（0）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）；（4）f（-$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），则正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 运用g′（x）=f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，构造函数g（x）=f（x）cosx单调递增，根据函数的单调性求出即可．

解答 解：构造函数g（x）=f（x）cosx，
则g′（x）=f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴函数g（x）在定义域递增，
①∴g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{4}$），即f（$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$＞f（$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞2f（$\frac{π}{4}$）＞f（$\frac{π}{4}$），故（1）错误；
②g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），即cos0f（0）＜cos$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$），
∴f（0）＜$\frac{1}{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜2f（$\frac{π}{3}$），故（2）错误；
③g（0）＜g（$\frac{π}{4}$），即cos0f（0）＜cos$\frac{π}{4}$f（$\frac{π}{4}$），
∴f（0）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故（3）错误；
④g（-$\frac{π}{3}$）＜g（-$\frac{π}{4}$），即cos（-$\frac{π}{3}$）f（-$\frac{π}{3}$）＜cos（-$\frac{π}{4}$）f（-$\frac{π}{4}$），
∴f（-$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），故（4）正确，
故选：A．

点评 本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题．