Question

已知△ABC的三个顶点均在球O的球面上，且AB=AC=1，∠BAC=120°，直线OA与平面ABC所成的角的正弦值为，则球面上B、C两点间的球面距离为    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求球面上B、C两点间的球面距离，作出O到平面ABC的高，判断垂足O′是外心，然后解三角形ABC的外接圆半径和球心角，最后求得P到球面上B、C两点间的球面距离．
解答：解：在三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，
∴由余弦定理得BC=，
由正弦定理得，三角形ABC外接圆的半径O′B=，如图，
又直线OA与平面ABC所成的角的正弦值为，
∴，解得OA=，
在三角形BCO′中，
∠BO′C=，球的半径R=，
则球面上B、C两点间的球面距离为：=
故答案为：．
点评：本题考查棱锥的结构特征，考查正弦定理、余弦定理，球面距离及相关计算，解答关键是明确球面距离的概念，是中档题．