Question

设单调递减数列{a_n}前n项和Sn=-

1

2

a

2n

+

1

2

an+21，且a₁＞0；
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若bn=2n-1•an，求{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

（1）当n=1时，a1=S1=-

1

2

a

21

+

1

2

a1+21，化为

a

21

+a1-42=0，又a₁＞0，解得a₁=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2

a

2n

+

1

2

an+21-[-

1

2

a

2n-1

+

1

2

an-1+21]，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∵数列{a_n}是单调递减数列，∴a_n+a_n-1≠0，a_n-a_n-1=-1．
∴数列{a_n}是公差为-1的等差数列，∴a_n=a₁+（n-1）d=6-（n-1）=7-n．
（2）∵bn=2n-1•an=（7-n）•2^n-1．
∴T_n=6×1+5×2¹+4×2²+…+（8-n）×2^n-2+（7-n）×2^n-1，
2T_n=6×2¹+5×2²+…+（8-n）×2^n-1+（7-n）×2ⁿ，
∴Tn=-6+(21+22+…+2n-1)+（7-n）×2ⁿ
=-6+

2(2n-1-1)

2-1

+（7-n）×2ⁿ
=-6+2ⁿ-2+（7-n）×2ⁿ
=（8-n）×2ⁿ-8．．