Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最高点D的坐标为（

π

8

，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x的交点的坐标为（

3π

8

，0）；
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）由三角函数解析式可知函数的平衡位置在x轴，所以最高点的纵坐标为A=2，又由于三角函数最高点与相邻的和x轴的交点为周期的四分之一，即

T

4

=

3π

8

-

π

8

，借此求出周期后可求出ω的值，然后将点（

π

8

，2）代入函数解析式并结合|φ|＜

π

2

可求出φ的值．
（2）由题中x的范围x∈[-

π

4

，

π

4

]可求出（1）中解析式里2x+

π

4

的范围，然后结合正弦函数y=sinx相应区间上的图象可以确定当2x+

π

4

=-

π

4

和2x+

π

4

=

π

2

时函数分别有最小值与最大值，并同时解出相应x的取值即可．
（3）由于函数图象左右平移改变的是横坐标，为此将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位后应用函数解析式中的自变量x-

π

4

，即y=g（x）=2sin[2（x-

π

4

）+

π

4

]=2sin（2x-

π

2

），由于求的是函数g（x）的减区间，故用2x-

π

4

替换正弦函数的减区间即由2kπ+

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z解出x后就是所求的减区间．

解答：解：（1）∵由最高点D（

π

8

，2）运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点为（

3π

8

，0），所以周期的四分之一即

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

π

4

，∴T=π，又T=

2π

ω

π，∴ω=2，因为函数经过点D的坐标为（

π

8

，2），代入函数解析式得2sin（2×

π

8

+φ）=2，
所以2×

π

8

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，即φ=zkπ+

π

4

，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

4

，
∴函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

4

）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

4

），当x∈[-

π

4

，

π

4

]，2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
所以2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时；函数f（x）有最小值-

2

2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时；函数f（x）有最大值2
（3）由题意g（x）=f（x-

π

4

）=2sin[2（x-

π

4

）+

π

4

]，
∴g（x）=2sin（2x-

π

4

）因为正弦函数y=sinx的减区间是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z
所以有2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z，
故函数g（x）的减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z，

点评：本题主要考查了复合角三角函数的解析式，最值以及图象变换和单调区间的求法等问题，属于复合角三角函数的性质的综合性命题．