Question

（1）求证：a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²，（a，b∈R₊）；
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+

π

2

，b=y2-2z+

π

3

，c=z2-2x+

π

6

，求证a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

分析：（1）化简a⁵+b⁵-（ a²b³+a³b² ）等于 （a³-b³）（a²-b²），分a≥b＞0时和b≥a＞0时两种情况，都能推出（a³-b³）（a²-b²）≥0，从而证得不等式成立．
（2）假设a、b、c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3≤0，得出矛盾，可得假设不成立，命题得证．

解答：证明：（1）∵a，b∈R₊，且a⁵+b⁵-（ a²b³+a³b² ）=a²（a³-b³）+b²（b³-a³）=（a³-b³）（a²-b²），
当a≥b＞0时，（a³-b³）≥0，（a²-b²）≥0，∴（a³-b³）（a²-b²）≥0，
故 a⁵+b⁵≥a²b³+a³b² ．
当b≥a＞0时，（a³-b³）≤0，（a²-b²）≤0，∴（a³-b³）（a²-b²）≥0，
故 a⁵+b⁵≥a²b³+a³b² ．
（2）假设a、b、c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3≤0，
故 （x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≤3-π＜0，矛盾，故假设不成立，
即a，b，c中至少有一个大于0．

点评：本题主要考查用比较法证明不等式，用反证法证明不等式，体现了分类讨论的数学而思想，属于中档题．