Question

设f（x）=x³-

x2

2

-2x+5
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围..

Answer 1

分析：（1）先利用导数求函数f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的单调区间，从而确定函数的极值；
（2）恒成立问题可转化成f（x）_max＜m即可．函数在[-1，2]上的最大值，利用极值与端点的函数值可以确定．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，解得x=1，-

2

3

，
∵函数在（-∞，-

2

3

），（1，+∞）上单调增，在（-

2

3

，1）上单调减
∴函数的极大值为f（-

2

3

）=5

22

27

，极小值f（1）=3

1

2

，
（2）∵f（-1）=5

1

2

，f（-

2

3

）=5

22

27

，f（1）=3

1

2

，f（2）=7；
即f（x）_max=7，
要使当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，只需f（x）_max＜m即可
故实数m的取值范围为（7，+∞）

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的极值，同时考查了恒成立问题的处理，注意利用好导数工具．