Question

已知一个口袋中装有n个红球（n≥1且n∈N₊）和2个白球，从中有放回连续摸三次，每次摸出2个球，若两个球颜色不同，则为中奖．
（1）当n=3时，设中奖次数为ζ，求ζ的分布列及期望；
（2）记三次摸球中，恰好两次中奖概率为P，当n为多少时，P有最大值．

Answer 1

分析：（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p=

3×2

C 2 5

=

3

5

，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=

C

2 3

•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．

解答：解：（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p=

3×2

C 2 5

=

3

5

，
设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．
P（ζ=0）=

C

0 3

(

2

5

)3=

8

125

，
P（ζ=1）=

C

1 3

(

3

5

)(

2

5

)2=

36

125

，
P（ζ=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)=

54

125

，
P（ζ=3）=

C

3 3

(

3

5

)3=

27

125

．
∴ζ的分布列为：

ζ	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

Eζ=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

27

125

=

9

5

．
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为：
P（ζ=2）=

C

2 3

•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，
p′=-9p²+6p=-3p（3p-2），
当p∈（0，

2

3

）时，p′＞0；当p∈（

2

3

，1）时，p′＜0．
∴在（0，

2

3

）上，p为增函数；在（

2

3

，1）上，p为减函数．
∴当p=

2

3

时，p取得最大值，
∵p=

4n

(n+1)(n+2)

=

2

3

，即n²-3n-2=0，解得n=1或n=2．
故n为1或2时，P有最大值．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学斯望的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．