Question

14．已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，离心率为$\sqrt{2}$，焦点到一条渐近线的距离为1，
①求M的标准方程
②直线y=kx+1交M的左支于A、B两点，E为AB的中点，F为其左焦点，求直线EF在y轴上的截距m的取值范围．

Answer 1

分析 ①设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由离心率可得a=b，c=$\sqrt{2}$a，再由焦点到渐近线的距离可得c，进而得到a，b和双曲线的方程；
②直线与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而根据判别大于0及x₁和x₂的范围求得k的范围，表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得m关于k的表达式，根据k的范围求得m的范围．

解答 解：①设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，可得a=b，c=$\sqrt{2}$a，
由焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，
可得$\frac{c}{\sqrt{2}}$=1，即c=$\sqrt{2}$，a=b=1．
则双曲线的方程为x²-y²=1；
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1-k²）x²-2kx-2=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4{k}^{2}+8（1-{k}^{2}）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{1-{k}^{2}}＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{{k}^{2}-1}＞0}\end{array}\right.$，解得1＜k＜$\sqrt{2}$，
∴AB中点E为（$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，$\frac{1}{1-{k}^{2}}$），
又F（-$\sqrt{2}$，0），
∴直线EF方程为y=$\frac{1}{k+\sqrt{2}-\sqrt{2}{k}^{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
令x=0，
得m=$\frac{\sqrt{2}}{k+\sqrt{2}-\sqrt{2}{k}^{2}}$=$\frac{1}{-{k}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}k+1}$
=$\frac{1}{-（k-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}+\frac{7}{8}}$，
由1＜k＜$\sqrt{2}$，可得m＞$\sqrt{2}$．
所以m的范围是（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，考查了直线与双曲线的综合问题．用k表示m的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．