Question

从广州六中高二年级理科学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试物理成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值并根据样本频率分布直方图估计广州六中高二年级理科期中考试物理成绩的众数；
（Ⅱ）广州六中为了培优补差，从这40名90分以上（含90分）和50分以下的学生中任意选取2人了解情况，求选出的两人中恰有1人成绩高于90分的概率．

Answer 1

分析：（I）根据频率分布直方图中，所有的小矩形面积和为1，求出a值；根据众数的值为频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标，求众数；
（II）先求出50分以下和90分以上的学生数，再求出从中任取2人的取法种数和两人中恰有1人成绩高于90分的取法种数，根据古典概型概率公式计算．

解答：解：（Ⅰ）因为在频率分布直方图中，所有的小矩形面积和为1，所以有：
（0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1⇒a=0.03，
因为众数的值为频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标，所以众数约为75．
（Ⅱ）由题意知，这40名学生中，50分以下的学生共有40×0.1=4人，
90分以上的学生共有40×0.05=2人，
从这6人中任取2人共有

C

2 6

=15种取法；
其中两人中恰有1人成绩高于90分的取法共有

C

1 2

×

C

1 4

=8人；
∴选出的两人中恰有1人成绩高于90分的概率为

8

15

．

点评：本题考查了频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了古典概型的概率计算，组合数公式．