Question

与直线3x+y-10=0平行的曲线y=x³-3x²+1的切线方程为

3x+y-2=0

．

Answer 1

分析：设出切点，求出函数在切点处的导数，因为所求切线与直线3x+y-10=0平行，所以所求导数值等于-3，由此求出切点的横坐标，代入曲线方程求出切点的纵坐标，由直线方程的点斜式写出直线方程，最后化为一般式．

解答：解：设与直线3x+y-10=0平行且与曲线y=x³-3x²+1相切的切线与曲线的切点为（x0，x03-3x02+1），
由y=x³-3x²+1，得y^′=3x²-6x，则y′|x=x0=3x02-6x0．
所以3x02-6x0=-3，即x02-2x0+1=0，所以x₀=1．
则x03-3x02+1=13-3×12+1=-1．
所以切点为（1，-1）．
所以切线方程为y-（-1）=-3×（x-1）．即为3x+y-2=0．
故答案为3x+y-2=0．

点评：本题考查了利用导数研究函数在某点的切线方程问题，考查了导数的几何意义，函数在某点处的导数，就是函数在该点的切线的斜率．此题是中档题．