Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），于是可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，故2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，利用正弦函数的单调性及可求得答案．

解答：解：∵f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）把y=sinx的图象上所有点向左平移

π

4

个单位得到y=sin（x+

π

4

）的图象，再把y=sin（x+

π

4

）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变得到
y=sin（2x+

π

4

）的图象，再把y=sin（2x+

π

4

）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的

2

倍，横坐标不变得到y=

2

sin（2x+

π

4

）的图象；
（3）∵0≤x≤

π

2

，故

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

，
当2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

时，f（x）有最小值-1．

点评：本题考查向量的数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值的综合应用，属于中档题．