【题目】已知函数在处有极值.
(1)求的解析式;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由题意得出可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,进而可求得函数的解析式;
(2)构造函数,由题意可知,不等式对任意的恒成立,求出导数,对实数进行分类讨论,分析函数在区间上的单调性,求出其最大值,通过解不等式可求得实数的取值范围.
(1),,
因为函数在处有极值,
得,,解得,,
所以;
(2)不等式恒成立,
即不等式恒成立,
令,
则不等式对任意的恒成立,则.
.
又函数的定义域为.
①当时,对任意的,,则函数在上单调递增.
又,所以不等式不恒成立;
②当时,.
令,得,当时,;当时,.
因此,函数在上单调递增,在上单调递减.
故函数的最大值为,由题意得需.
令,函数在上单调递减,
又,由,得,,
因此,实数的取值范围是;
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【题目】第35届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.
(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多少种不同的分配方案?
(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设x∈[1,2]时,函数,是否存在实数m使得g(x)的最小值为6,若存在,求m的取值;若不存在,说明理由.
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【题目】为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果,现对200只动物进行调研,并得到如下数据:
未发病 | 发病 | 合计 | |
未注射疫苗 | 20 | 60 | 80 |
注射疫苗 | 80 | 40 | 120 |
合计 | 100 | 100 | 200 |
(附:)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
则下列说法正确的:( )
A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
B.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%
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【题目】已知点为圆上一点,轴于点,轴于点,点满足(为坐标原点),点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)斜率为的直线交曲线于不同的两点、,是否存在定点,使得直线、的斜率之和恒为0.若存在,则求出点的坐标;若不存在,则请说明理由.
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【题目】设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(,)
C. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg
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【题目】已知椭圆()的左右焦点分别为,左右顶点分别为,过右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点,,的周长为.过点作直线交椭圆于第一象限的点,直线交椭圆于另一点,直线与直线交于点;
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若的面积为,求直线的方程;
(3)证明:点在定直线上.
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