Question

已知椭圆C₁：，双曲线C₂：．若直线与椭圆C₁、双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两交点A、B满足（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由l与椭圆C₁恒有两个不同的交点，可得解得  ①，由l与C₂ 有两个不同的交点可得 k²≠，且k²＜1  ②，再由 可得 或  ③，结合①②③求得k²的取值范围，即可得到k的取值范围．
解答：解：将代入得，，
由判别式 ，解得  ①．
将代入得，（1-3k²）x²-6kx-9=0，
由l与C₂ 有两个不同的交点可得 ，解得 k²≠，且k²＜1  ②，
根据 =x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂++2=＜6，
解得，或  ③．  由①②③得，或．
故k的取值范围为：．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，两个向量的数量积公式的应用，求得，或，是解题的难点和关键．