Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为 ，F是椭圆C的右焦点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．
（1）求n的值；
（2）若线段AB的垂直平分线在y轴的截距为 ，求k的值；
（3）是否存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得e= = ，a=2 ，

即有c=2，b=2，

即有n=4；

（2）解：椭圆的方程为 ，F（2，0），

直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程可得

（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，

x1+x2= ，x1x2= ，

AB的中点为（ ，k（ ﹣2）），

即为（ ， ），

由题意可得 =﹣ ，解得k=1或 ；

（3）解：假设存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线，

即有直线PA和PB的斜率之和为0，

即有 + =0，由y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2），

即有2x1x2﹣（2+t）（x1+x2）+4t=0，

代入韦达定理，可得 ﹣（2+t） +4t=0，

化简可得t=4．

即有存在点P（4，0），使得PF为∠APB的平分线．

【解析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，可得n=4；（2）求得椭圆方程，设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值；（3）假设存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线，即有直线PA和PB的斜率之和为0，运用韦达定理和斜率公式，化简整理，解方程可得t，即可判断存在．