Question

设(5x-

1

x

)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若

M

N

=32，则展开式中x²的系数为

 

．

Answer 1

分析：利用赋值法求出展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N=2ⁿ，根据

M

N

=32，从而可求得n的值，利用二项式定理即可求得展开式中含x²项的系数．

解答：解：∵二项式(5x-

1

x

)n的展开式中，
令x=1得：各项系数之和M=4ⁿ，
又各项二项式系数之和为N，故N=2ⁿ，
又

M

N

=32，
∴2ⁿ=32，即n=5．
设二项式（5x-

1

x

）⁵的展开式的通项为T_r+1，
则T_r+1=

C

r 5

•（5x）^5-r•（-1）^r•x-

1

2

r=（-1）^r•5^5-r•

C

r 5

x5-

3

2

r，
令5-

3

2

r=2，解得：r=2，
∴展开式中x²的系数为（-1）²•5^5-2•

C

2 5

=1250．
故答案为：1250．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，以及二项式系数与系数和的求解，求出n的值是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．