Question

【题目】已知函数f（x）=2 ．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于函数f（x）=2 ，

令t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，可得f（x）=g（t）=2t （t≥﹣4）．

由于t的定义域为R，故故函数的定义域为R．

∵t≥﹣4，故f（x）≥2﹣4= ，故f（x）的值域为[ ，+∞）．

（2）解：根据f（x）=g（t）=2t，函数f（x）的单调区间，即函数t的单调区间．

由于函数t=（x﹣1）2﹣4的减区间为（﹣∞，1]，增区间为：[1，+∞），

故函数f（x）的单调递减区间：（﹣∞，1]，单调递增区间：[1，+∞）

【解析】（1）令t=x2﹣2x﹣3，f（x）=g（t）=2t （t≥﹣4），利用二次函数的性质求得t的定义域与值域，可得函数f（x）的定义域和值域．（2）函数f（x）的单调区间，即函数t的单调区间，再利用二次函数的性质得出结论．
【考点精析】关于本题考查的函数的定义域及其求法和函数的值域，需要了解求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能得出正确答案．