Question

【题目】已知函数.

（1）证明：，；

（2）判断的零点个数，并给出证明过程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析.

【解析】

（1）由函数是偶函数，只需利用导数证明函数在区间上的最大值即可；

（2）由（1）得出函数在区间上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区间上也只有一个零点，从而得出函数有三个零点.

（1），，则该函数为偶函数，

只需证，其中.

，.

当时，令，得.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

，，

当时，，此时，函数单调递减，则，

因此，对任意的，；

（2）三个零点，证明如下：

由（1）可知，当时，函数有一个零点.

当时，，此时，函数无零点；

当时，，.

此时，函数单调递增，，.

由零点存在定理可知，存在，使得.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

，，.

由零点存在定理知，函数在区间上无零点，在区间上有且只有一个零点，即函数在区间上有且只有一个零点.

由于函数为偶函数，所以，函数在上无零点，在上有且只有一个零点.

综上所述，函数有三个零点.