Question

在△ABC中，角A的对边长等于2，向量

m

=(2，  2cos2

B+C

2

-1)，向量

n

=(sin

A

2

，  -1)．
（1）求

m

•

n

取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出

m

•

n

，然后根据三角形的内角和定理，利用二倍角的余弦函数公式化简后进行配方得到

m

•

n

=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

，由

A

2

为锐角，利用二次函数求最值得到

m

•

n

取最小值时sin

A

2

=

1

2

，根据特殊角的三角函数值求出A即可；
（2）由a=2，根据第一问求得cosA的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根据S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，把bc的最大值代入到面积公式里得到面积的最大值．

解答：解：（1）

m

•

n

=2sin

A

2

-(2cos2

B+C

2

-1)=2sin

A

2

-cos(B+C)．
因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，
于是

m

•

n

=2sin

A

2

+cosA=-2sin2

A

2

+2sin

A

2

+1=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

．
因为

A

2

∈(0，  

π

2

)，所以当且仅当sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

时，

m

•

n

取得最大值

3

2

．
故

m

•

n

取得最大值时的角A=

π

3

；

（2）设角、B、C所对的边长分别为a、b、c由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA
即bc+4=b²+c²≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号．
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

．当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为

3

．

点评：考查学生会进行平面向量的数量积的运算，灵活运用二次函数求值的方法及灵活运用余弦定理化简求值．会利用基本不等式求最值．