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如图,点A、B分别是椭圆
x2
36
+
y2
20
=1
的长轴的左、右端点,F为椭圆的右焦点,直线PF的方程为
3
x+y-3
2
=0
,且PA⊥PF.
(Ⅰ)求直线PA的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
(I)由题设知A(-6,0),B(6,0),直线AP的斜率为
3
3
,…(2分)
直线AP的方程为y=
3
3
(x+6)
,即x-
3
y+6=0.…(4分)
(Ⅱ)设M(m,0)(-6≤m≤6),…(5分)
由于M到直线AP的距离等于MB,
|m+6|
1+(
3
)
2
=|m-6|
.…(6分)
∵-6≤m≤6,∴
m+6
2
=6-m
解得m=2,
M的坐标为(2,0).…(8分)
设P(x,y)是椭圆上任意一点,则
x2
36
+
y2
20
=1

d=
(x-2)2+y2
=
4
9
x2-4x+24

当x=
9
2
时d 有最小值
15
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
交于A,B两点,设线段AB的中点为P,若直线的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2等于______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

一束光线从点(0,1)出发,经过直线x+y-2=0反射后,恰好与椭圆x2+
y2
2
=1
相切,则反射光线所在的直线方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)
到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:y=-x2+2x,在点A(0,0),B(2,0)分别作抛物线的切线L1、L2
(1)求切线L1和L2的方程;
(2)求抛物线C与切线L1和L2所围成的面积S.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为
π
4
的直线与抛物线相交于A、B两点.
(1)求直线AB的方程;
(2)试用p表示A、B之间的距离;
(3)当p=2时,求∠AOB的余弦值.
参考公式:(xA2+yA2)(xB2+yB2)=xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2].

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
,求直线MB的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,右焦点为F(1,0).
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点F且倾斜角为
π
4
的直线与此椭圆相交于A,B两点,求|AB|的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)问是否存在满足以下两个条件的直线l:①斜率为1;②直线被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆C1过原点.若存在这样的直线,请求出其方程;若不存在,说明理由.

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