Question

已知向量

m

=(sin

ωx

2

，1)，

n

=(

3

Acos

ωx

2

，

A

2

cosωx)(A＞0，ω＞0)，函数f(x)=

m

•

n

的最大值为6，最小正周期为π．
（1）求A，ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求g(x)在[0，

5π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知中两向量的坐标，求出函数的解析式，进而根据函数的最大值及最小正周期，可求出A，ω的值；
（2）根据正弦函数图象的平移变换法则，求出平移后函数y=g（x）的解析式，进而结合正弦型函数的图象和性质，可求出g(x)在[0，

5π

6

]上的值域．

解答：解：（1）由题意有f(x)=

m

•

n

=A(

3

2

sinωx+

1

2

cosωx)=Asin(ωx+

π

6

)…（4分）
∵最大值为6，周期为π且A＞0，ω＞0
∴A=6，ω=

2π

T

=

2π

π

=2…（6分）
（2）∵y=f(x)向左平移

π

12

，向上移动1个单位
∴g(x)=6sin(2x+

π

3

)+1…（8分）
∵x∈[0，

5π

6

]则2x+

π

3

∈[

π

3

，2π]…（10分）
∴sin(2x+

π

3

)∈[-1，1]
即g（x）的值域为[-5，7]…（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的图象和性质，向量的数量积运算，函数图象的平移，其中利用向量的数量积公式及函数图象的平移变换法则求出函数的解析式，是解答的关键．