Question

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆C1：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．

Answer 1

分析：（1）解法一：利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
解法二：同解法一求出点M的坐标，再利用椭圆的标准方程及参数a，b，c的关系即可求出．
（2）方法一：利用已知向量相等及点A，B在圆上满足圆的方程即可证明；
方法二：利用向量相等、直线与圆相交问题得到根与系数的关系即可证明．

解答：解：（1）解法一：令M为（x₀，y₀），因为M在抛物线C₂上，故x02=4y0，①
又|MF1|=

5

3

，则y0+1=

5

3

②
由①②解得x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

椭圆C₁的两个焦点为F₁（0，1），F₂（0，-1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF₁|+|MF₂|=

(- 2 6 3 -0)2+( 2 3 -1)2

+

(- 2 6 3 -0)2+( 2 3 +1)2

=4
∴a=2，又c=1，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C₁的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有

( 2 3 )2

a2

+

(- 2 6 3 )2

b2

=1，即

4

9a2

+

8

3b2

=1，
又c=1，即b²=a²-1，解得a²=4，b²=3∴椭圆C₁的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）证明：方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y）
由

AP

=-λ

PB

，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），
即

x1-λx2=1-λ    ⑤ y1-λy2=3(1-λ)⑥

由

AQ

=λ

QB

，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），

x1+λx2=(1+λ)x⑦ y1+λy2=(1+λ)y⑧

⑤×⑦得x12-λ2x22=(1-λ2)x，⑥×⑧得y12-λ2y22=3y(1-λ2)
两式相加，得(x12+y12)-λ2(x22+y22)=(1-λ2)(x+3y)
又点A，B在圆x²+y²=3上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，且λ≠±1
即x+3y=3，故点Q总在直线x+3y=3上
方法二：
由

AP

=-λ

PB

，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），∴λ=

x1-1

x2-1

，
由

AQ

=λ

QB

，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），∴λ=

x-x1

x2-x

，
∴

x-x1

x2-x

=

x1-1

x2-1

，∴x=-

x1+x2-2x1x2

x1+x2-2

（*）
当斜率不存在时，由特殊情况得到Q(1，

2

3

)，
当斜率存在时，设直线为y=k（x-1）+3

y=kx+3-k x2+y2=3

⇒(1+k2)x2+2(3-k)kx+k2-6k+6=0，
∴x1+x2=-

2(3-k)k

1+k2

，x1x2=

k2-6k+6

1+k2

，
代入（*）得x=

3k-6

3k+1

，而y=k（x-1）+3，消去k，得x+3y=3
而Q(1，

2

3

)满足方程，∴Q在直线x+3y=3上．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．