Question

6．已知递增的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₆=64，a₄、a₅的等差中项为3a₃．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n}{{a}_{2n-1}}$，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件列出方程组，求出a₁，q，代入通项公式即可；
（2）根据{b_n}的通项公式特点可知使用错位相减法求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₆=64，a₄、a₅的等差中项为3a₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{5}=64}\\{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{4}=6{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{64}{243}}\\{q=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∵{a_n}是递增数列，∴a₁=2，q=2．
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{2n-1}}$．
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+$\frac{4}{{2}^{7}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2n-3}}$+$\frac{n}{{2}^{2n-1}}$．
∴$\frac{1}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{5}}$+$\frac{3}{{2}^{7}}$+$\frac{4}{{2}^{11}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$．
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{4}）^{n}）}{1-（\frac{1}{4}）^{\;}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{2n}}$）-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$．
∴T_n=$\frac{8}{9}$-$\frac{1}{9}$•$\frac{1}{{2}^{2n-3}}$-$\frac{n}{3•{2}^{2n-1}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及数列求和，弄清数列类型找到与之对应的求和方法是关键．