【题目】某高校进行自主招生选拔,分笔试和面试两个阶段进行,规定分数不小于笔试成绩中位数的具有面试资格.现有1000余名学生参加了笔试考试,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(1)求获得面试资格应划定的最低分数线;
(2)从笔试得分在区间的学生中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,那么从得分在区间与各抽取多少人?
(3)从(2)抽取的7人中,选出4人参加学校座谈交流,学校打算给这4人一定的物质奖励,若该生分数在给予300元物质奖励,若该生分数在给予500元物质奖励,用表示学校发的奖金数额,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)250分;(2)分别在区间与各抽取5人,2人;(3)分布列详见解析,数学期望为元
【解析】
(1)利用频率分布直方图可得成绩的中位数,从而可得获得面试资格应划定的最低分数线.
(2)利用频率分布直方图算出与上的频率之比,从而可得在各组上抽取的人数.
(3)利用超几何分布可求的分布列,利用公式可求其期望.
解(1)由题意知的频率为:,
的频率为:,
所以分数在的频率为:,
从而分数在的.
假设该最低分数线为,由题意得解得,
故面试资格最低分数线应划为250分.
(2)在区间与,,
成绩在区间的学生中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,
分别在区间与各抽取5人,2人,结果是5人,2人.
(3)的可能取值为1600,1400,1200,
,,,
从而的分布列为
1600 | 1400 | 1200 | |
∴(元).
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【题目】某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为,高为,圆锥的母线长为.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?
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【题目】为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等,劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积.将,称为基尼系数.对于下列说法:
①越小,则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;
其中正确的是:( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的普通方程为在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.Ⅰ写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程;Ⅱ设直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B,P为圆C上的任意一点,求的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)设曲线C与直线l的交点为A、B,求弦AB的中点P的直角坐标;
(2)动点Q在曲线C上,在(1)的条件下,试求△OPQ面积的最大值.
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【题目】在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知等差数列的公差为,等差数列的公差为.设分别是数列的前项和,且, ,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
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