Question

已知函数f（x）=a^x，g（x）=a^2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为

5

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）=g（x）-2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最小值H（m）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为

5

2

．建立方程关系即可求a的值；
（Ⅱ）求出函数h（x）的表达式，利用换元法求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在[-1，1]上为单调函数，f（x）的最大值与最小值之和为a+a-1=

5

2

，
∴a=2或

1

2

．
（Ⅱ）h（x）=2^2x+m-2m•2^x．
即h（x）=（2^x）²-2m•2^x+m，
令t=2^x，
∵x∈[0，1]时，
∴t∈[1，2]，
h（x）=t²-2mt+m，对称轴为t=m
当0＜m＜1时，H（m）=h（1）=-m+1；
当1≤m≤2时，H（m）=h（m）=-m²+m；
当m＞2时，H（m）=h（2）=-3m+4．

综上所述，H(m)=

-m+1 ，(0＜m＜1) -m2+m， (1≤m≤2) -3m+4，  (m＞2)

．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，要求熟练掌握指数函数和二次函数的图象和性质．