Question

对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N^*上，函数值也在N^*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k))＝3k.
(1)证明：f(3k)＝3f(k)；
(2)求f(3^k－1)(k∈N^*)的值；
(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）2×3^k－1(k∈N^*)（3）存在p＝3^k－1＋1

(1)证明：对k∈N^*，f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝f(3k)①
由已知f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝3f(k)，②
由①、②∴f(3k)＝3f(k)
(2)若f(1)＝1，由已知f(f(k))＝3k得f(1)＝3，矛盾；
设f(1)＝a＞1，∴f(f(1))＝f(a)＝3，③
由f(k)严格递增，即1＜a⇒f(1)＜f(a)＝3，
∴∴f(1)＝2，
由③f(f(1))＝f(a)＝3，故f(f(1))＝f(2)＝3.
∴f(1)＝2，f(2)＝3.
f(3)＝3f(1)＝6，f(6)＝f(3·2)＝3f(2)＝9，
f(9)＝3f(3)＝18，f(18)＝3f(6)＝27，
f(27)＝3f(9)＝54，f(54)＝3f(18)＝81.
依此类推归纳猜出：f(3^k－1)＝2×3^k－1(k∈N^*)．
下面用数学归纳法证明：
(1)当k＝1时，显然成立；
(2)假设当k＝l(l≥1)时成立，即f(3^l－1)＝2×3^l－1，
那么当k＝l＋1时，f(3^l)＝f(3×3^l－1)＝3f(3^l－1)＝3×2×3^l－1＝2·3^l.猜想成立，由(1)、(2)所证可知，对k∈N^*f(3^k－1)＝2×3^k－1成立．
(3)存在p＝3^k－1＋1，当p个连续自然数从3^k－1→2×3^k－1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3^k－1)＝2×3^k－1→f(2×3^k－1)＝3^k.