[题目]如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N.E.F分别是棱A1B1.A1D1.B1C1.C1D1的中点．(1)求MN与AC所成角.并说明理由．(2)求证:平面AMN∥平面EFDB．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点．

（1）求MN与AC所成角，并说明理由．

（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．

【答案】（1）MN与AC的夹角为90°（2）见证明

【解析】

(1) 连接B1D1易得MN∥D1B1，又D1B1∥DB，从而有MN∥DB，故MN与AC的夹角即为DB与AC的夹角；

(2) 证明AM∥平面EFDB，MN∥平面EFDB，即可证明平面AMN∥平面EFDB．

（1）连接B1D1

∵M、N分别是A1B1，A1D1的中点

∴MN∥D1B1

又∵DD1∥BB1且DD1=BB1

∴DBB1D1为平行四边形

∴D1B1∥DB

∴MN∥DB

∴MN与AC的夹角即为DB与AC的夹角

又∵ABCD为正方形

∴MN与AC的夹角为90°

（2）证明：

由（1）得 MN∥DB

MN平面BDEF

BD平面BDEF

∴MN∥平面BDEF

∵在正方形A1B1C1D1中，M，F分别是棱A1B1，D1C1的中点

∴MF∥A1D1且MF=A1D1

又∵A1D1∥AD 且A1D1=AD

∴MF∥AD且 MF=AD

∴四边形ABEN是平行四边形

∴AM∥DF

又∵AM平面AMN，DF 平面BDEF

∴AM∥平面BDEF

∵AM 平面AMN,MN平面AMN，且AN MN=N

∴平面AMN∥平面DBEF

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