Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，记和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数为M（A）．如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．对于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若实数b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差数列，则M（B）=

2n-3

．

Answer 1

分析：把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成图表，严格利用题目给出的新定义，采用列举法来进行求解即可．

解答：解：对于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若实数b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差数列，
则 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：
b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n-1+b_n，
b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n-2+b_n，
   …，…，…，
b₁+b_n-2，b₂+b_n-1，b₃+b_n，
b₁+b_n-1，b₂+b_n，
b₁+b_n，
∵数列{b_n}是等差数列，
∴b₁+b₄=b₂+b₃，b1+b5=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n-1．
∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，
同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，
∵第一列共有n-1个不同的值，后面共有n-1列，
∴所有不同的值有：n-1+n-2=2n-3，故M（B）=2n-3，
故答案为 2n-3．

点评：本题的属于新定义的创新题，主要考查等差数列的定义和性质，题目篇幅长，难于理解是解决这一问题的障碍，属于中档题．