Question

（2012•兰州模拟）已知函数f（x）=x+ln（1-x），e为自然对数的底数．
（1）若x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）若n≥2，n∈N^*，证明(1+

1

2!

)(1+

1

3!

)…(1+

1

n!

)＜e．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最大值，x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，等价于x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，由此可求实数m的取值范围；
（2）由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x，由此进行放缩，裂项，即可证得结论．

解答：（1）解：函数的定义域为（-∞，1），求导函数可得：f′(x)=1-

1

1-x

=

x

x-1

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＜1，∴x＜0；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＜1，∴0＜x＜1
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（x）_max=f（0）=0
∵x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，
∴x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，
∴m≤0
∴实数m的取值范围是（-∞，0]；
（2）证明：由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
∴ln[(1+

1

2!

)(1+

1

3!

)…(1+

1

n!

)]=ln(1+

1

2!

)+ln(1+

1

3!

)+…+ln(1+

1

n!

)＜

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

≤

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1
∴(1+

1

2!

)(1+

1

3!

)…(1+

1

n!

)＜e．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，属于中档题．