【题目】已知数列的各项均为整数,其前n项和为
.规定:若数列
满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第
项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列
为“r关联数列”.
(1)若数列为“6关联数列”,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求出,并证明:对任意
,
;
(3)若数列为“6关联数列”,当
时,在
与
之间插入n个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列,求
,并探究在数列
中是否存在三项
,
,
其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2),证明见解析
(3),不存在,理由见解析
【解析】
(1)根据题意得到,
,且
.解得
即可求出
的通项公式.
(2)由(1)得,利用换元法证明数列
的最小项为
,即可证明对任意
,
.
(3)由(1)可知,当时,
,由此可得出
.假设在数列
中存在三项
,
,
(其中
,
,
成等差数列)成等比数列,则
,推导出故
,这与题设矛盾,所以在数列
中不存在三项
,
,
(其中
,
,
成等差数列)成等比数列.
(1)∵为“6关联数列”,
∴前6项为等差数列,从第5项起为等比数列.
∴,
,且
.
即,解得
.
∴.
(2)由(1)得.
:
,
:
,
:
,
可见数列的最小项为
.
,
由列举法知:当时,
;
当时,
(
),
设,则
,
.
(3)由(1)可知,当时,
,
因为:,
.
故:.
假设在数列中存在三项
,
,
(其中
,
,
成等差数列)成等比数列,
则:,即:
,
即(*)
因为,
,
成等差数列,所以
,
(*)式可以化简为,
即:,故
,这与题设矛盾.
所以在数列中不存在三项
,
,
(其中
,
,
成等差数列)成等比数列.
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【题目】已知数列,
为其前
项的和,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,求证:当
,
时
;
(3)已知当,且
时有
,其中
,求满足
的所有
的值.
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【题目】已知命题:“若,
为异面直线,平面
过直线
且与直线
平行,则直线
与平面
的距离等于异面直线
,
之间的距离”为真命题.根据上述命题,若
,
为异面直线,且它们之间的距离为
,则空间中与
,
均异面且距离也均为
的直线
的条数为( )
A.0条B.1条C.多于1条,但为有限条D.无数多条
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【题目】对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A},记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A)=A∪S(A).
(1)若A={0,1,2},求S(A),T(A);
(2)若集合A有n个元素,证明:“d(S(A))=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;
(3)若A{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}T(T(A)),求元素个数最少的集合A.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛,经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得
分,答错得
分,假设甲队中每人答对的概率均为
,乙队中
人答对的概率分別为
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用
表示乙队的总得分.
(1)求的分布列;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.
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【题目】下列四个命题中,真命题是( )
A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线
C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线
D.若、
是异面直线,
、
是异面直线,则
、
是异面直线
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