Question

已知函数f(x)=

2-x(x≤0) -x2+2ax+1(x＞0)

（a∈R），则下列结论正确的是（　　）

• A、?a∈R，f（x）有最大值f（a）
• B、?a∈R，f（x）有最小值f（0）
• C、?a∈R，f（x）有唯一零点
• D、?a∈R，f（x）有极大值和极小值

Answer 1

分析：根据指数函数及二次函数的性质，我们分析函数的性质，画出函数图象的草图，进而逐一对四个答案中的结论，进行判定，即可得到答案．

解答：解：根据指数函数及二次函数的性质，我们可得：
函数f(x)=

2-x(x≤0) -x2+2ax+1(x＞0)

（a∈R），即为最大值，也无最小值，故A，B均错误；
函数的图象也X轴有且只有一个交点，故C?a∈R，f（x）有唯一零点，正确；
当a＞0时，f（x）有极大值f（a）和极小值f（0），当a≤0时，f（x）没有极大值和极小值，故D错误；
故选C

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质是解答本题的关键．