Question

【题目】已知函数f（x）= 为偶函数．
（1）求实数t值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；
（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣ ，2﹣ ]，求实数a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是偶函数，

∴ = ，

∴2（t﹣2）x=0，

∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2

（2）解：由（1）得，f（x）= ，

∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0， }，

而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，

∴λ∈E；

（3）解：∵f（x）=1﹣ ，

∴f（x）在[a，b]递增，

∵函数f（x）的值域是[2﹣ ，2﹣ ]，

∴ ，

∵b＞a＞0，

解得：a=1，b=4．

【解析】（1）根据函数的奇偶性求出t的值；（2）由（1）求出f（x）的解析式，求出E的元素，求出λ的值，判断即可；（3）根据函数的单调性得到关于a，b的方程组，解出即可．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．