Question

5．已知函数y=x+$\frac{t}{x}$有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在$（0，\sqrt{t}]$上是减函数，在$[\sqrt{t}，+∞）$上是增函数．
（1）已知f（x）=$\frac{{{x^2}-2x-4}}{x+2}$，x∈[-1，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[-1，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件，先变形f（x）=$x+2+\frac{4}{x+2}-6$，可令x+2=u，1≤u≤3，而函数u=x+2为增函数，从而根据复合函数的单调性及已知的性质便可得出f（x）的减区间为[-1，0]，增区间为[0，1]，进一步便可得出f（x）的值域为[-2，-1]；
（2）根据题意便知f（x）的值域为g（x）的子集，而容易求出g（x）的值域为[-1-2a，-2a]，从而得出$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a≤-2}\\{-2a≥-1}\end{array}\right.$，这样即可得出实数a的值．

解答 解：（1）y=$f（x）=\frac{{x}^{2}-2x-4}{x+2}=\frac{（x+2）^{2}-6（x+2）+4}{x+2}$=x+2+$\frac{4}{x+2}$-6；
设u=x+2，x∈[-1，1]，1≤u≤3，u=x+2为增函数；
则y=u+$\frac{4}{u}$-6，u∈[1，3]；
由已知性质得，①当1≤u≤2，即-1≤x≤0时，f（x）单调递减；
∴f（x）的减区间为[-1，0]；
②当2≤u≤3，即0≤x≤1时，f（x）单调递增；
∴f（x）的增区间为[0，1]；
由f（-1）=-1，f（0）=-2，f（1）=$-\frac{5}{3}$；
得f（x）的值域为[-2，-1]；
（2）g（x）=-x-2a为减函数，x∈[0，1]；
故g（x）∈[-1-2a，-2a]；
由题意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a≤-2}\\{-2a≥-1}\end{array}\right.$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
即实数a的值为$\frac{1}{2}$．

点评 考查分离常数法的运用，复合函数的单调性及单调区间的求法，一次函数的单调性，根据函数单调性求函数的值域，以及子集的概念．